Question

求高数 积分计算 详细过程

求解详细过程……

Answer 1

设x-1=2tgθ ,θ ∈(-π/2,π/2)
则dx=2dtgθ
∫√2^2+（x-1)^2dx = 4 ∫√ [1+(tgθ)^2]dtgθ=4∫secθ d (tgθ)

现在单独计算：∫secθ d (tgθ)
=∫(secθ)^3 dθ=∫secθ [1+(tgθ)^2] dθ=∫secθdθ +∫secθ(tgθ)^2] dθ=∫secθdθ +∫tgθ d (secθ) 对最后一项使用分部积分法：
=∫secθdθ +tgθ secθ-∫secθ d (tgθ )
即：∫secθ d (tgθ)=∫secθdθ +tgθ secθ-∫secθ d (tgθ )
移项显然：：2∫secθ d (tgθ)=∫secθdθ +tgθ secθ
所以：∫√2^2+（x-1)^2dx=2∫secθdθ +2tgθ secθ+C
计算到这里，实际∫secθdθ 都有现成的公式可以直接写出来，再把x-1=2tgθ带回去即可解出所求积分，当然如果忘记了公式，也可以再单独计算∫secθdθ
∫secθdθ=∫secθ（secθ+tgθ)/（secθ+tgθ)dθ=ln｜secθ+tgθ｜ 代入上式即可：
∫√2^2+（x-1)^2dx=2ln｜secθ+tgθ｜+2tgθ secθ +C
已知x-1=2tgθ，可得secθ =√ 1+[(x-1)/2]^2 ， θ ∈(-π/2,π/2) ，将此代入上式可得：
∫√2^2+（x-1)^2dx=[（x-1)/2] √x^2-2x+5 +2ln[(x-1)/2+(√x^2-2x+5)/2]+C
=[（x-1)/2] √x^2-2x+5+2ln(x-1+√x^2-2x+5)+C1

以上答案仅供参考，如有疑问，可继续追问！