Question

若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是多少?

Answer 1

推荐答案错误，你两次的不等式等号成立条件不同，取不到你所说的最小值。

设3x+4y=a>0
所以x=(a-4y)/3
代入方程
(a-4y)/3+3y=5[(a-4y)/3]y
两边乘3
a-4y+9y=5ay-20y^2
20y^2-5(a-1)y+a=0
设f(y)=20y^2-5(a-1)y+a
开口向上的抛物线，对称轴y=(a-1)/8
因为y是正数，所以必有一个正根
所以
1.对称轴y=(a-1)/8<=0
Δ=[5(a-1)]^2-4*20*a>=0
那么y>0在对称轴右边，f递增，f最小值在y=0,
所以为了使有正根，必然有
f(0)<0

2.对称轴y=(a-1)/8>0
Δ=[5(a-1)]^2-4*20*a>=0

则最小值在顶点，只需顶点的y坐标是小于等于0的即可
f((a-1)/8)<=0

解之
得到
1.a<0且5a^2-26a+5>=0 (a<1/5或者a>5)
即a<0 (舍去，因为a>0)
2.a>1且 (a<=1/5或者a>=5)
即a>=5

综合得到
a>=5
所以3x+4y最小值为5
此时
f(y)=20y^2-20y+5=0
4y^2-4y+1=0
(2y-1)^2=0
y=1/2
x=(5-4*1/2)/3=1
即x=1,y=1/2时3x+4y取到最小=5

Answer 2

因为x＞0，y＞0，
所以x+3y≥2根号（3xy），而x+3y=5xy，所以5xy≥2根号（3xy），25x²y²-12xy≥0
xy（25xy-12）≥0，xy＞0则25xy12≥0，xy≥12/25
3x+4y≥2根号（12xy）≥2根号（12*12/25）=24/5
3x+4y的最小值是24/5

Answer 3

当x=1，y=0.5 是 3X+4y得知最小为 5

Answer 4

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Answer 5

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