Question

已知函数f(x)=a√（1-X^2）+√（1+X）+√（1-x）的最大值为g(a). 设t=√（1+x）+√（1-x）,

1，求t的取值范围
2，求g(a)
急需答案，请帮忙给出过程，谢谢！

Answer 1

1)f(x)及t的定义域为[-1,1]
显然t>=0,
t^2=1+x+1-x+2 √(1-x^2)=2+2√(1-x^2)
所以x=0时，tmax=√(2+2)=2
x=1或-1时，tmin=√2
所以t的值域为[√2, 2]

2)令p=√(1-x^2)， 则0=<p<=1
则f(p)=ap+√(2+2p)
f'(p)=a+1/√(2+2p)
当a>=-1/4时，f'(p)>=0, f是增函数，当p=1时，f最大，即g(a)=a+2
当-1/4<a<-1/2时，f'=0, 得：p=1/[2(a)^2]-1 为极大值点，即g(a)=-1/(2a)-a
当a<=-1/2时，f'(p)<=0, f是减函数，当p=0时，f最大，即g(a)=√2

追问

你好，请问为什么x=0时，有tmax，有可能有取零点几时有最大值呢？为什么x=1或-1时，有tmin？谢谢！

追答

√(1-x^2)=0， 显然最小值为0

追问

谢谢！请问第二问，怎么找思路呢？怎么想到令p=√(1-x^2)；f'(p)=a+1/√(2+2p)怎么来的呢？

追答

第2问主要是利用第1小题的结论。

追问

你好，实在没理解到，请问下面步骤是怎么得来的呢？f'(p)=a+1/√(2+2p)
当a>=-1/4时，f'(p)>=0, f是增函数，当p=1时，f最大，即g(a)=a+2
当-1/4<a<-1/2时，f'=0, 得：p=1/[2(a)^2]-1 为极大值点，即g(a)=-1/(2a)-a
当a<=-1/2时，f'(p)<=0, f是减函数，当p=0时，f最大，即g(a)=√2
谢谢！！！