Question

根据极限定义证明：函数f(x)当x→Xo时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等。

Answer 1

证明：

必要性：因为f(x)当x→Xo时极限存在，设为A,则f(x)-A的绝对值<E,则f(x)-A<E，为右极限存在，f(x)-A>-E,A-f(x）<E，故左极限存在。

证明充分性时，是由左右极限的定义出发，证明出符合极限的定义。而函数的极限定义是对任一ε而言的，ε虽然可任意取得，但一经指定，它就是固定的。

证明的过程运用左右极限的定义时，若不选取同一ε，而选不同的ε1、ε2，就不符合极限定义，即不能得出对开始任意指定的ε，有|f(x)–A|<ε的结论。

N的相应性　

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

Answer 2

asdfasdfasdf

Answer 3

充分性：（已知左右极限存在且相等，证明极限存在）
设lim[x→x0+] f(x)=A，lim[x→x0-] f(x)=A
由lim[x→x0+] f(x)=A，则对于任意ε>0，存在δ1>0，当0<x-x0<δ1时，有|f(x)-A|<ε成立；
又由lim[x→x0-] f(x)=A，存在δ2>0，当 -δ2<x-x0<0 时，有|f(x)-A|<ε成立；
取δ=min{δ1，δ2}，则当0<|x-x0|<δ时，
若x>x0，则0<|x-x0|<δ≤δ1成立，
若x<x0，则-δ2≤-δ<x-x0<0成立，
因此无论哪种情况，均有|f(x)-A|<ε成立，因此lim[x→x0] f(x)=A。

必要性：（已知极限存在，证明左右极限存在并相等）
由lim[x→x0] f(x)=A，则任取ε>0，存在δ>0，当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε成立
此时有：0<x-x0<δ时，|f(x)-A|<ε成立，因此lim[x→x0+] f(x)=A；
同理，此时有：-δ<x-x0<0 时，|f(x)-A|<ε成立，因此lim[x→x0-] f(x)=A。

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