Question

证明已知函数f(x)在(0,1)上连续且可导，且f（0）=0，f（1)=1, 存在两个不同点m，n使f

f‘（n）f’（m）=1

Answer 1

是不是写题时偷懒了啊。 应该是在闭区间[0,1]连续，开区间(0,1)可导吧。如果按你所写的，在端点时可能不连续，于是所给端点条件毫无意义。
下面假设在闭区间[0,1]连续。

1. 如果 f(x)=x 在(0,1)上都成立。 任意取两个不同点分别为m,n即可。
2.假设存在 0<x0<1, 使得 f(x0)不等于 x0, 不妨设 f(x0) >x0, (如果 f(x0) <x0, 证法类似）
设 A=（0，0）， B=（1，1), C=(x0, f(x0)),
则 直线AC 的斜率k1 > 1, 直线CB 的斜率k2 < 1. 于是 存在 k, 使得 k2 < 1/k < 1 < k < k1
因为 1 < k < k1， 过A点的斜率为k的直线 必夹在 AC， AB 之间， 于是，根据连续性，必在 x0< x < 1 上与 （x, f(x)) 相交， 设交点为D1= (x1, f(x1)), 则在0<x<x1 上存在m, 使得 f'(m) = AD1的斜率=k,
类似， 因为 k2 < 1/k < 1， 过B点的斜率为1/k的直线 必夹在 CA， CB 之间， 于是必在 0< x < x0 上与 （x, f(x)) 相交， 设交点为D2= (x2, f(x2)), 则在x2<x<1 上存在n, 使得 f'(n) = D2B的斜率=1/k,

于是有 f‘（n）f’（m）=1/k * k =1

说明： 上面的证明主要是几何表述，完全可以转化为代数式表述。只是几何表述更便于理解。有疑问请继续问。

Answer 2

题目应该是在[0，1]上连续，(0,1)可导吧。。楼上证明的实在不严密。。。
LZ学过高数的话就用中值定理来证吧。
证：设g(x)=f(x)+x，则g(x)在[0，1]上也连续
g(0)=f(0)+0=0
g(1)=f(1)+1=2
因为g(x)在[0，1]上连续,所以存在x∈(0,1)使得g(x)=1
取ξ∈(0,1),g(ξ)=f(ξ)+ξ=1
f(ξ)=1-ξ

不妨设m∈(0,ξ),n∈(ξ,1)
f'(m)=(f(ξ)-f(0))/(ξ-0)=(1-ξ)/ξ
f'(n)=(f(1)-f(ξ))/(1-ξ)=ξ/(1-ξ)
(以上为两次中值定理)
f'(m)*f'(n)=1
证毕.

Answer 3

这个问题没有问完吧