Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R)满足条件；①图像过原点

①图像过原点②f(1+x)=f(1-x)③方程f(x)=x有等根
（1）求f(x)的解析式
（2）求f(x)在x∈【-1，2】上的值域

Answer 1

1）过原点（0，0），则有f(0)=c=0
f(1+x)=f(1-x),表明对称轴为x=1, 即-b/(2a)=1, 得：b=-2a
f(x)=x有等根，即ax^2+bx=x有等根，而此方程的根为x=0, (1-b)/a, 所以有b=1
故a=-b/2=-1/2
即f(x)=-x^2/2+x
2）f(x)=-1/2*(x-1)^2+1/2
在区间[-1,2],
fmax=f(1)=1/2
fmin=f(-1)=-3/2
所以值域为[-3/2, 1/2]

Answer 2

①图像过原点，则c=0；
②f(1+x)=f(1-x)，则对称轴为1，即-b/2a=1，即：b=-2a；
所以，f(x)=ax²-2ax
③方程f(x)=x有等根，即ax²-2ax=x，ax²-(2a+1)x=0，x(ax-2a-1)=0，x1=0，x2=(2a+1)/a
有等根，则x2=x1=0，即：2a+1=0，得：a=-1/2
所以，b=1
所以，f(x)=-x²/2+x

f(x)是开口向下，对称轴为x=1的抛物线，对称轴在定义域区间内，-1离对称轴最远
所以，最大值为f(1)=1/2，最小值为f(-1)=-3/2
所以，值域为【-3/2，1/2】

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！O(∩_∩)O

追问

②f(1+x)=f(1-x)，则对称轴为1，即-b/2a=1，即：b=-2a
如何得到？详细一些，谢谢