Question

|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 求详细证明过程

Answer 1

当a,b<0时，IaI=-a, IbI=-b, 那么:
|a|-|b|=-a-(-b)=b-a,
Ia+bI=-(a+b),
|a|+|b|=-a+(-b)=-(a+b).而-(a+b)>b-a,故 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 成立。
当a,b=0时，IaI=0, IbI=0, 那么: |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|=0成立。
当a,b>0时，IaI=0, IbI=0, 那么:
|a|-|b|=a-b,
Ia+bI=a+b,
|a|+|b|=a+b.而a+b>a-b, 故 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 成立。
综上所述：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 成立。
故： |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

Answer 2

画出数轴，在数轴上任意标注两点a和-b
|a|-|b|表示a和-b到原点的距离差
|a+b|=|a-(-b)|表示a到-b的距离
|a|+|b|=|a-0|+|0-(-b)|表示a和-b到原点的距离之和
∴|a|-|b|≤|a+b| (|a|<|b|时恒成立；|a|>|b|时，a和-b同侧，|a|-|b|=|a+b| ，异侧则，|a|-|b|<|a+b| )
|a+b|≤|a|+|b| (a和-b同侧，|a+b|<|a|+|b|，异侧则，|a+b|=|a|+|b|)
∴|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

Answer 3

分类讨论，分a,b的正负讨论即可