Question

求解高数曲面积分问题'见图

Answer 1

先说三者的关系吧。
在上半椭球面S1，解出Z=正的根号下。。。
在下半椭球面S2，解出Z=负的根号下。。。
在计算曲面积分时，无论Z正还是Z负，其中的dS都是一样的；
但是被积函数中的Z，在S1与S2符号相反。
所以，在S1与S2上的积分结果符号相反；
在S3上的积分=在S1上的+在S2上的=0。

如此，需要计算S1或S2上的之一就可以了。
例如计算S1上的：
经计算，dS=[√（4-xx-yy）/√4-2xx-2yy]*dxdy，
把Z=正的根号下。。。代入、化成二重积分、整理，得到
原式∫∫S1。。。
=椭圆域上的二重积分0.25∫∫√（1+0.5xx+0.5yy）*√（4-xx-yy）dxdy，
作变换x=√2rcosθ，y=√2rsinθ，则椭圆域变成圆域，有雅可比行列式=2r，
于是=圆域上的二重积分0.5∫（0到2Π）dθ∫（0到1）√2√（2+rr-rrrr）rdr，
积出，结果=0.5Π*[1-（√2/8）ln（2√2-1）+（√2/8）ln（2√2+1）]。