Question

已知函数f(x)=a√（1-X^2）+√（1+X）+√（1-x）的最大值为g(a). 设t=√（1+x）+√（1-x）,

1，求t的取值范围
2，求g(a)
急需答案，请帮忙给出过程，谢谢！

Answer 1

解：1、t=√（1+x）+√（1-x）＞0
故：t²=[√（1+x）+√（1-x）] ²=2+2√（1+X）√（1-x）
≤2+[√（1+x）] ²+[√（1-x）] ²=4
故：-2≤t≤2

又t²=[√（1+x）+√（1-x）] ²=2+2√（1+X）√（1-x）=2+ 2√（1-X²）≥2
故：t≥√2或t≤-√2

故：√2≤t≤2

2、因为t=√（1+x）+√（1-x）
故：t²=[√（1+x）+√（1-x）] ²=2+2√（1+X）√（1-x）=2+ 2√（1-X²）
故：√（1-X²）= t²/2-1
故：f(x)=a√（1-X^2）+√（1+X）+√（1-x）= at²/2-a+t=a/2·（t-1/a）²-a-1/2a
对称轴t=1/a
然后根据对称轴t=1/a、√2≤t≤2，并结合二次函数的相关性质分步讨论。相信你能够完成了。注意: (2-√2)/2是一个分界点；√2是一个分界点；2是一个分界点

Answer 2

1.
t²=1+x+2√(1-x²)+1-x=2+2√(1-x²)
∵0≤√(1-x²)≤1，故2≤t²≤4，√2≤t≤2

2.
f(x)=a√(1-x²)+√(1+x)+√(1-x)=a·√(1+x)·√(1-x)+√(1+x)+√(1-x)
≤a[(1+x)+(1-x)]/2+√(1+x)+√(1-x)（均值不等式）=a+t≤a+2，
故g(a)=a+2，当x=0时取得最大值。

Answer 3

学习！