Question

请问下高等代数里面线性空间、域和环之间是什么关系啊?

Answer 1

1、向量空间又称线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。

2、环，设G是非空集合，在G上定义加法+和乘法·两种运算，如果满足：
(1) (G，+)是交换群(阿贝尔群)；
(2) (G，-)是半群；
(3) 乘法对加法适合左、右分配律，即对“a,b,cÎ；
G有a·(b+c)=a·b+a·c (a+b)·c=a·c+b·c
则代数系统(G，+，-)为环.

3、域 设(S,+,·)是代数系统，如果满足：
(1) (S，+)是交换群；
(2) (S－{0}，·)是交换群；
(3) 运算·对运算+是可分配的。
则(S,+,·)为域。
交换除环是域。

Answer 2

线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。

Answer 3

看定义，线性空间的定义没有乘法结合率，但有乘法的单位元。环在群的基础上有运算体系。线性空间是在一个非空集合和域的基础上满足一系列运算规则，且运算所得结果仍在线性空间内。

Answer 4

域和环都是建立在集合上的，准确的说是建立在群上，首先得是群，才能谈得上域和环，详细见《抽象代数》