Question

如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，求AE、FC、EF的

求AE、FC、EF的数量关系。

Answer 1

解：在ED的延长线上取点G，使GD＝ED，连接CG、FG
∵∠ABC＝90
∴∠A+∠ACB＝90
∵D为AC中点
∴AD＝CD
∵GD＝ED，∠ADE＝∠CDG
∴△ADE≌△CDG （SAS）
∴CG＝AE，∠GCD＝∠A
∴∠BCG＝∠GCD+∠ACB＝∠A+∠ACB＝90
∴FG²＝CG²+CF²
∵GD＝ED，DE⊥DF
∴FD垂直平分EG
∴EF＝FG
∴EF²＝AE²+CF²

Answer 2

先取特殊点 E F为AB BC 中点 得AE=FC EF=√2AE 再取E F与B C点重合 得AB=EF FC=0
猜测 AE^2+FC^2=EF^2 其实也差不多。。。我想你应该是初中的学生吧
所以我就想到这个了。。接下了就证一般性了。。。。
这个运用相似三角形的性质 （△AED∽△CDF） 和 △DEF为直角三角形
在随便设DC=r什么的运算时比较好看 应该就可以解决了
唉 困了 剩下的我相信你可以解决的了·····

Answer 3

AE^2+FC^2=EF^2

证明：做DG⊥AB于G DH⊥AC于H
假设G在E上方，H在F左方
由于ABC为等腰直角三角形 所以DG=DH=AG=CH

又有∠GDE=∠HDF 所以三角形GDE与三角形HDF全等EG=FH，DE=DF
所以AE^2+FC^2=（AG+GE）^2+(CH-FH)^2=（AG+GE）^2+(AG-GE)^2=2(AG^2+GE^2)
=2(DG^2+GE^2)=2DE^2=EF^2于是AE^2+FC^2=EF^2
G在E下方，H在F右方时同理可证