Question

已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（√7，0），直线Y＝X－1与其相交于...

已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（√7，0），直线Y＝X－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为－2／3，求此双曲线的方程

Answer 1

MN中点的横坐标为－2／3， MN中点的纵坐标为－5／3，
设 双曲线方程为 x^2/a^2-y^2/b^2=1
设M(x1,y1), N(x2,y2)
x1^2/a^2-y1^2/b^2=1
x2^2/a^2-y2^2/b^2=1 相减
(x1-x2)(x1+x2)/a^2-(y1-y2)(y1+y2)/b^2=0
(y1-y2)/(x1-x2)=k=1 x1+x2=-4/3 y1+y2=-10/3
-4/3a^2+10/3b^2=0
5a^2=2b^2
a^2+b^2=7 所以a^2=2 b^2=5
此双曲线的方程
x^2/2-y^2/5=1

Answer 2

y=x-1c^2=a^2+b^2=7 …… ① x^2/a^2-y^2/b^2=1将y代入上式，整理化简为一元二次方程：（a^2-b^2）x^2-2a^2x+a^2+a^2b^2=1那么根据韦达定理x1+x2=2a^2/(a^2-b^2)MN中点的横坐标为为x1+x2/2所以a^2/(a^2-b^2)=根号7 …… ②解得： a^2=2 b^2=5所以 x^2/2-y^2/5=1祝你新年快乐,全家幸福~

Answer 3

解：∵双曲线中心在原点且一个焦点为F（√7，0）
∴b^2=7-a^2 [对于双曲线 a^2+b^2=c^2=7]
从而双曲线的方程为 x^2/a^2-y^2/(7-a^2)=1 ①
又 y=x-1　②
将②代入① x^2/a^2-(x-1)^2/(7-a^2)=1
化简得(7-2a^2)x^2+2a^2x-a^2-a^2(7-a^2)=0
根据韦达定理得 x1+x2=-2a^2/(7-2a^2)
∵中点的横坐标为－2／3
∴-a^2/(7-a^2)=-2/3
从而 a^2=14/5
b^2=7-a^2=7-14/5=21/5
∴此双曲线的方程是 5x^2/14-5y^2/21=1