Question

如图是二次函数y=（x+m）²+k的图像，其顶点坐标为M（1.-4

如图是二次函数y=（x+m）²+k的图像，其顶点坐标为M（1.-4
（1）求出图像与x轴的交点A，B的坐标
（2）在二次函数的图像上是否存在点P，使S△PAB=5／4S△MAB，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由
⑶在y轴上存在一点Q，使得△QMB周长最小，求出Q点坐标

Answer 1

(1)、∵二次函数Y=(x+m)^2+k的图像，其顶点坐标为M（1，-4）
∴m=-1,k=-4
函数的解析式是：Y=（x-1)²-4。
当y=0时，（x-1)²-4=0
即：x²-2x-3=0
(x-3)(x+1)=0
x1=-1,x2=3
所以：A点的坐标是（-1，0）；B点的坐标是（3,0）。

（2）S△MAB=1/2×|3-（-1）|×|-4|=8
S△PAB=5/4S△MAB=5/4×8=10
△PAB以AB为底的高=10×2÷|3-（-1）|=5
所以：（x-1)²-4=5
即：x²-2x-8=0
（x+2)(x-4)=0
x3=-2,x4=4
那么：P点在（-2,5）或者（4,5）时，S△PAB=5/4S△MAB。

（3）y=x+b经过B点(4,0)时，4+b=0,b=-4,与图像有一个交点；
y=x+b经过A(-1,0)点时，-1+b=0,b=1,与图像有三个交点；
y=x+b经过M'(1,4)点时，1+b=4,b=3,与图像有三个交点；
所以：当直线y=x+b(b<1)与此图像有两个公共点时，b的取值范围是-4<b<1或者b>3。

Answer 2

(1)m=-1,k=-4。所以解析式是y=x^2-2x-3，令y=0得x1=3,x2=-1，所以A（-1,0）B（3,0）；
（2）由于S△PAB=5／4S△MAB，且有公共底边AB，所以点P到x轴的距离等于点M到x轴的距离的5/4倍，可求得点P到x轴的距离为5，因此将y=5代入二次函数解析式中得x1=4,x2=-2，所以点P（-2,5）（4,5）.
（3）做点B关于y轴的对称点D，连接MD交y轴于点Q，则点Q就为所求的点。因为B(3,0),所以D点为（-3，0）点M（1，-4）所以直线DM为y=-x-3，所以令x=0得y=-3，所以Q点坐标为（0，-3）