Question

已知如图,正方形ABCD中E、F分别是BC,CD边上的两点且AE⊥BF于O点

（1）求证AE=BF
（2）若AB=24，BE=10，求OF的长

Answer 1

第一个问题：
∵ABCD是正方形，∴CE⊥CF，又OE⊥OF，∴O、E、C、F共圆，∴∠AEB＝∠BFC。
∵ABCD是正方形，∴AB＝BC、∠ABE＝∠BCF＝90°，又∠AEB＝∠BFC，∴△ABE≌△BCF，
∴AE＝BF。

第二个问题：
∵AB⊥BE，∴AE＝√（AB^2＋BE^2）＝√（24^2＋10^2）＝2√（12^2＋5^2）＝2×13＝26，
∴BF＝26。
∵O、E、C、F共圆，∴BO×BF＝BE×BC＝BE×AB＝10×24，∴26BO＝240，
∴BO＝240/26＝120/13，∴OF＝BF－BO＝26－120/13＝2×（13^2－60 ）/13＝218/13。

追问

那个..我初二，没学过共圆和那个√，能不能用初二的知识解答？

Answer 2

(1)∵AE⊥BF即∠BOE=90º

∴∠1﹢∠3=90º

∵正方形ABCD,AB⊥BC

∴∠2﹢∠3=90º

∴∠1=∠2

同理∠1=∠4

又AB=BC

∴△ABE全等于△BCF（角边角）

∴AE=BF

(2)由（1）△ABE全等于△BCF

∴∠3=∠4，BF=AE

又∵∠BOE=∠C=90º

∴△BOE∽△BCF

∴BO/BC=BE/BF

即BO/24=10/√(24²+10²)

∴BO=120/13

∴OF=BF-BO=26-120/13=218/13 

Answer 3

 

 

 

 

（1）如图所示

         ∵四边形ABCD为正方形

         ∴∩ABC=∩C=90°，AB=BC

         ∴∩2+∩3=90°

        ∵AE⊥BF

         ∴∩1+∩3=90°

        ∴∩1=∩2

        在△ABE与△BCF中，

       AB=BC，∩1=∩2，∩ABC=∩C=90°

       ∴△ABE≌△BCF

      ∴AE=BF

（2）∵∩ABC=90°，

         ∴在Rt△ABE中，由勾股定理得

          AB²+BE²=AE²

            24²+10²=AE²

                   AE²=676

                    AE=26

         ∵AE=BF，

        ∴BF=26

        ∵△ABE≌△BCF

        ∴  ∩4=∩5   

        ∵∩2+∩5=90°，

       ∴∩2+∩4=90°

       ∴OB⊥AE

        ∵S△ABE=2/1×AB×BE

       又∵D△ABE=2/1×AE×OB

          ∴AB×BE=OB×AE

             24×10=OB×36

                    OB=3/20

∴OF=BF-OB=26-3/20=  3/58