Question

已知数列﹛an﹜的前n项和Sn，对任意n∈N*，满足﹙1－r﹚Sn＝1－a﹙n＋1﹚,﹙r＞0﹚,a1＝1

﹙1﹚求证数列﹛an﹜是等比数列
﹙2﹚设bn＝a﹙2n－1﹚＋a2n，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn。求lim1／Sn

Answer 1

• （1）n>=2时，a﹙n+1)=S(n+1)-Sn,代入，得-rSn=1-S(n+1),-rS(n-1)=1-Sn,相减，得ran=a(n+1), r>0，n>=2,a2=r=ra1,所以ran=a(n+1), n>=1,所以数列﹛an﹜是等比数列 。

• （2）由（1）知an=r^(n-1),bn=r^(2n-1)+r^(2n),r=1时，Sn=n,lim1／Sn=0,r不为1，              Sn=(r^(2n+1)-1/(r-1),r>1,lim1／Sn=0,0<r<1,lim1／Sn=1-r