Question

已知函数f(x)=2+log3X, x∈[1,9]求y=[f(x)]²+f(x²)的最大值，及y取得最大值时x的值。

Answer 1

解：∵f（x）=2+log3x，x∈[1，9]，
∴y=[f（x）]2+f（x2）=（2+log3x）2+（2+log3x2）
=（log3x）2+6log3x+6，令t=log3x
由题意可得1≤x≤91≤x2≤9​即1≤x≤3，则t∈[0，1]
∴y=t2+6t+6=（t+3）2-3在[0，1]上单调递增
当t=1即x=3时，函数有最大值，ymax=13

追问

’（2+log3x2）‘是log3x的平方吗、、？

追答

是

Answer 2

f(x)=2+log3X, x∈[1,9]
则f(x)∈[2,4], 当x=9时，f(x)取最大
f(x^2)=2+2log3x, 则f(x^2)∈[2,6]， 当x=9时，f(x^2)取最大。

所以y=[f(x)]²+f(x²)的最大值为当x=9时取得，为4^2+6=22

追问

可答案上是x=3时 最大值是13 这怎么回事呢

追答

可能题目抄错了吧，比如f(x)=2-log3(x)

追问

题目没错啊

追答

哦，那是我理解错了。
因为为f(x^2)项，所以y的定义域须为1=<x^2<=9, 即1=<x<=3
这样的话：令t=log3(x), 则0=<t<=1
y=(2+t)^2+(2+2t)=t^2+6t+6=(t+3)^2-3
当t=1即x=3时取最大值ymax=13.

追问

2t 是怎么算出来的?