Question

有说“非齐次线性方程组如果有唯一解，那么这个解是零解” 那么为什么不能有有限个其他非零解呢？

为什么说“如果没有唯一零解，那么解就是无限多个呢？？”不是说只有秩小于自变量向量维数的时候，才有无穷多解吗？

如果秩等于未知数变量的维数，方程组有多少组解？

Answer 1

错了，零解特指所有变量的值都是零，非齐次线性方程组不可能有零解。

齐次线性方程组若解唯一，则必是零解是由Cramer法则判断出来的。

而且齐次线性方程解有一个特点，那就是解的线性组合还是该齐次线性方程的解。

简单的说若x是该齐次方程的非零解，那么kx也是解，这样齐次线性方程就有无穷解了。

所以当齐次线性方程组有非零解时，它的系数矩阵的秩必小于它的的列数，也就是秩小于自变量向量维数的时候，才有无穷多解。

齐次线性方程组求解步骤

1、对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；

1、若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；

若r(A)=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解，进行以下步骤：

3、继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；

4、选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解。

Answer 2

错了，零解特指所有变量的值都是零，非齐次线性方程组不可能有零解
至于你问的问题应该是齐次线性方程组的解若有非零解，则必有无穷解
或者解唯一，则必是零解吧
齐次线性方程组若解唯一，则必是零解是由Cramer法则判断出来的
而且齐次线性方程解有一个特点，那就是解的线性组合还是该齐次线性方程的解（验证一下，很明显）
简单的说若x是该齐次方程的非零解，那么kx也是解，这样齐次线性方程就有无穷解了
所以当齐次线性方程组有非零解时，它的系数矩阵的秩必小于它的的列数，也就是秩小于自变量向量维数的时候，才有无穷多解