Question

在平面直角坐标系中,点P在x轴上,圆P与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,已知A(-2,0)，B（8,0）

在平面直角坐标系中,点P在x轴上,圆P与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,已知A(-2,0)，B（8,0）.点D在圆P上,且弧AC=弧CD，AD和OC交于点E.连接PE、BC
（1）求出点C的坐标
（2）求AD的长
（3）求证：PE∥BC

Answer 1

(1)AB为直径,则∠ACB=90°.
∵∠ACO=∠CBO(均为角BCO的余角);∠AOC=∠COB=90°.
∴⊿ACO∽⊿CBO,CO/BO=AO/CO,CO²=BO*AO=8*2=16.
则:CO=4,点C为(0, 4);
(2)直径AB⊥CF,得:弧AC=弧AF;又弧AC=弧CD.
∴弧AF=弧CD,则:∠ACE=∠CAE,故:AE=CE.
设AE=CE=X,则OE=OC-CE=4-X.
OA²+OE²=AE²,2²+(4-X)²=X²,X=5/2,则OE=4-5/2=3/2;
∵弧AC=弧CD,连接PC交AD于H,则PC⊥AD.
∴AD=2AH.由PC=PA,PE=PE,CE=AE,得⊿PCE≌⊿PAE(SSS)
∴∠APE=∠CPE; EH=OE=3/2(全等三角形对应边上的高相等).
故:AD=2AH=2(AE+EH=2*(5/2+3/2)=8.
(3)∵PC=PB.
∴∠PBC=∠PCB=(1/2)∠APC;
又∠APE=(1/2)∠APC(已证).
∴∠APE=∠PBC,得PE∥BC.

Answer 2

(1)由A、B点的坐标可以求得圆的方程为(x-3)^2+y^2=25
所以C的坐标为(0,4)
(2)连接CP与AD交于点G，则AD垂直于CP且G是AD中点
所以三角形ACP的面积=0.5*AG*CP=0.5*CO*AP
所以AG=4
所以AD=8
(3)三角形AOE相似于三角形ADB
所以OE/DB=AO/AD

DB=6

所以OE=1.5

所以OE/OC=OP/OB

所以PE//BC