Question

如图，在四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD的中点，且AE⊥ BC， AF⊥CD

当AB与BC和CD之间有什么关系时，△AEF是等边三角形，证明。

Answer 1

∵AEF是等边三角形
∴AE=AF，∠EAF=60°
∵AE⊥BC，AF⊥CD
∴∠AEC=∠AFC=90°
∴在Rt△AEC和Rt△AFC中
AE=AF，AC=AC
∴Rt△AEC≌Rt△AFC(HL)
∴CE=CF，∠EAC=∠FAC=1/2∠EAF=30°
∴∠ACE=3ACB=90°-∠EAC=90°-30°=60°
∵点E是BC的中点，点F是CD的中点
即BE=CE=1/2BC，CF=DF=1/2CD
∴BC=CD
在Rt△ABE和Rt△ACE中
∠AEB=∠AEC=90°，AE=AE，BE=CF
∴Rt△ABE≌Rt△ACE(SAS)
∴∠ABE=∠ACE
即∠ABC=∠ACB=60°
∴△ABC是等边三角形
∴AB=BC=CD