Question

∫dx/x^2√（a^2－x^2）

Answer 1

可以使用换元法，答案如图所示

Answer 2

第一换元法(隐式)：
∫ 1/[x²√(a² - x²)] dx
= ∫ 1/{x²√[x²(a²/x² - 1)]} dx
= ∫ 1/[x³√(a²/x² - 1) dx
= ∫ 1/√(a²/x² - 1) d(- 1/(2x²))
= (- 1/(2a²))∫ 1/√(a²/x² - 1) d(a²/x² - 1)
= (- 1/(2a²)) * 2√(a²/x² - 1) + C
= (- 1/a²)√(a² - x²)/x + C
= - √(a² - x²)/(a²x) + C

第二换元法：
令x = asinz，dx = acosz dz
∫ 1/[x²√(a² - x²)] dx
= ∫ 1/(a²sin²z|acosz|) * (acosz) dz
= (1/a²)∫ csc²z dz
= (1/a²) * (- cotz) + C
= (- 1/a²) * √(csc²z - 1) + C
= (- 1/a²) * √[(a/x)² - 1] + C
= (- 1/a²) * √(a² - x²)/x + C
= - √(a² - x²)/(a²x) + C