Question

在数列{an}中，a1=2, an+1=4an-3n+1

(1)证明数列{（an）-n}是等比数列
(2)求数列{an}的前n项和Sn ,

Answer 1

第1问：
设数列｛bn｝，令bn=an-n
则an=bn+n
代入a(n+1)=4an-3n+1
得b(n+1)+n+1=4(bn+n)-3n+1
化简得b(n+1)=4bn
所以数列｛bn｝即数列｛an-n｝是公比为4的等比数列

第2问：
b1=a1-1=2-1=1
bn=b1*q^(n-1)=4^(n-1)
an=bn+n=4^(n-1)+n
Sn=a1+a2+……+an
=(1+1)+(4+2)+……+[4^(n-1)+n]
=[1+4+……+4^(n-1)]+(1+2+……+n)
=1*(1-4^n)/(1-4)+n(n+1)/2
=(4^n-1)/3+n(n+1)/2