证明(1) 当x>1时，e^x>e*x (2)当x>0时，ln（1+x）<x
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(1)令f(x)=e^x,则f'(x)=e^x,有:
(e^x-e)=f(x)-f(1)=(x-1)f'(ξ)
上步即是拉格朗日中值定理,其中1<ξ<x,利用f'(x)是增函数继续推下去:
(e^x-e)=(x-1)f'(ξ)>(x-1)f'(1)=ex-e
e^x>ex
(2)令f(x)=ln(1+x),则f'(x)=1/(1+x),跟上面一样的推导有:
ln(1+x)=f(x)-f(0)=xf'(ξ)<xf'(0)=x
(e^x-e)=f(x)-f(1)=(x-1)f'(ξ)
上步即是拉格朗日中值定理,其中1<ξ<x,利用f'(x)是增函数继续推下去:
(e^x-e)=(x-1)f'(ξ)>(x-1)f'(1)=ex-e
e^x>ex
(2)令f(x)=ln(1+x),则f'(x)=1/(1+x),跟上面一样的推导有:
ln(1+x)=f(x)-f(0)=xf'(ξ)<xf'(0)=x
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