高中柯西不等式证明问题求解
条件:正实数满足a+b+c=1①.求(a+1/a)²+(b+1/b)²+(c+1/c)²的最小值②.若a²/(1+a)+b...
条件:正实数满足a+b+c=1
①.求(a+1/a)²+(b+1/b)²+(c+1/c)²的最小值
②.若a²/(1+a)+b²/(1+b)+c²/(1+c)=1/4 求abc的值 展开
①.求(a+1/a)²+(b+1/b)²+(c+1/c)²的最小值
②.若a²/(1+a)+b²/(1+b)+c²/(1+c)=1/4 求abc的值 展开
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第一题:【By 西陵楚客】
由柯西不等式
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=(a*1/a+b*1/b+c*1/c)^2=(1+1+1)^2=9
a+b+c=1
所以1/a+1/b+1/c>=9
又由柯西不等式
[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2](1+1+1)
>=[(a+1/a)*1+(b+1/b)*1+(c+1/c)]^2
=[(a+b+c)+(1/a+1/b+1/c)]^2
=[1+(1/a+1/b+1/c)]^2
>=(1+9)^2=100
即3[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2]>=100
所以(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2>=100/3
所以最小值=100/3
第二题:
由柯西不等式:
[(1+a)+(1+b)+(1+c)][a²/(1+a)+b²/(1+b)+c²/(1+c)]>=(a+b+c)^2
故:
a²/(1+a)+b²/(1+b)+c²/(1+c)>=1/4
等号当且仅当:a²/(1+a) :(1+a)=b²/(1+b) :(1+b)=c²/(1+c) :(1+c)
即a/(1+a)=b/(1+b)=c/(1+c),也即a=b=c=1/3时成立
故abc=1/27
由柯西不等式
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=(a*1/a+b*1/b+c*1/c)^2=(1+1+1)^2=9
a+b+c=1
所以1/a+1/b+1/c>=9
又由柯西不等式
[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2](1+1+1)
>=[(a+1/a)*1+(b+1/b)*1+(c+1/c)]^2
=[(a+b+c)+(1/a+1/b+1/c)]^2
=[1+(1/a+1/b+1/c)]^2
>=(1+9)^2=100
即3[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2]>=100
所以(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2>=100/3
所以最小值=100/3
第二题:
由柯西不等式:
[(1+a)+(1+b)+(1+c)][a²/(1+a)+b²/(1+b)+c²/(1+c)]>=(a+b+c)^2
故:
a²/(1+a)+b²/(1+b)+c²/(1+c)>=1/4
等号当且仅当:a²/(1+a) :(1+a)=b²/(1+b) :(1+b)=c²/(1+c) :(1+c)
即a/(1+a)=b/(1+b)=c/(1+c),也即a=b=c=1/3时成立
故abc=1/27
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由柯西不等式
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=(a*1/a+b*1/b+c*1/c)^2=(1+1+1)^2=9
a+b+c=1
所以1/a+1/b+1/c>=9
又由柯西不等式
[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2](1+1+1)
>=[(a+1/a)*1+(b+1/b)*1+(c+1/c)]^2
=[(a+b+c)+(1/a+1/b+1/c)]^2
=[1+(1/a+1/b+1/c)]^2
>=(1+9)^2=100
即3[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2]>=100
所以(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2>=100/3
所以最小值=100/3
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=(a*1/a+b*1/b+c*1/c)^2=(1+1+1)^2=9
a+b+c=1
所以1/a+1/b+1/c>=9
又由柯西不等式
[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2](1+1+1)
>=[(a+1/a)*1+(b+1/b)*1+(c+1/c)]^2
=[(a+b+c)+(1/a+1/b+1/c)]^2
=[1+(1/a+1/b+1/c)]^2
>=(1+9)^2=100
即3[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2]>=100
所以(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2>=100/3
所以最小值=100/3
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