Question

过矩形ABCD的对角线AC中点O作EF垂直AC,交AB,DC于E.F,G为AE的中点,角AOG30°,DG=2,求DC 啊啊啊

Answer 1

解：连接AF,CE
因为点O是对角线AC的中点
所以OA=OC
因为EF垂直AC
所以EF是AC的垂直平分线
所以角AOE=90度
AF=CF=AE=CE
因为角AOG=30度
因为点G是AE的中点
所以OG是直角三角形AOG的中线
所以OG=AG=GE=1/2AE
所以角AOG=角OAG=30度
角AEF=60度
所以三角形EAF是等边三角形
所以AE=AF=EF
因为四边形ABCD是矩形
所以角BAD=角BCD=角ADC=90度
AB=DC
AB平行DC
所以角OAE=角OCF
角AOE=角COF=90度
因为OA=OC
所以直角三角形AOE和直角三角形COF全等（ASA)
所以AE=CF
因为角DAF=角BAD-角EAF=30度
所以在直角三角形ADF中，因为角ADF=90度，角DAF=30度
所以DF=1/2AF
所以GE=DF
因为AB平行DC
所以四边形GEFD是平行四边形
所以DG=EF
所以EF=FC
因为DG=2
DC=DF+CF
所以DC=2+1=3

Answer 2

证明：
由EF⊥AC可知△AOE是直角三角形
由直角三角形的斜边中线定理，可知OG=AG=GE
所以∠BAC=∠AOG=30°，∠AEO=60°，∠GOE=∠AOE-∠AOG=60°
△OEG是正三角形，OG=OE=GE

△ABC也是直角三角形
连接OB，同样有OA=OB=OC，所以∠ABO=∠BAC=30°
那么∠AOB=180°-30°-30°=120°，∠BOE=∠AOB-90°=30°
所以△OEB是等腰三角形，OE=EB

所以：OG=AG=GE=EB=OE
所以：OG=AB/3