Question

已知函数f(x)=2x/(x+1) (1)当x>=1时，证明：不等式f(x)<=x+lnx恒成立

Answer 1

作等价变形：
不等式f(x)<=x+lnx 等价于：2x/(x+1)≤x+lnx
等价于：2x/(x+1)-x≤lnx
等价于：[2x-x(x+1)]/(x+1)≤lnx
等价于：(2x-x^2-x)/(x+1)≤lnx
等价于：(-x^2+x)/(x+1)≤lnx
等价于：-x(x-1)/(x+1)≤lnx
因为x≥1,所以x>0,x-1≥0,x+1>0,
所以 -x(x-1)/(x+1)≤0
对数函数y=lnx的底数=e>1,所以x≥1时,lnx≥0
故不等式f(x)<=x+lnx恒成立。