Question

设函数f(x)在点x=a处可导，则函数 |f(x)| 在点x=a处不可导的充分条件是？

Answer 1

若f(a)>0, 则在x=a的邻域，有|f(x)|=f(x), 其导数为f'(a)
若f(a)<0, 则在x=a的邻域，有|f(x)|=-f(x),其导数为f'(-a)
若f(a)=0, 若在x=a的邻域，f(x)不变号，则f(a)为极值点，有f'(a)=0, 则此时|f'(a)|=0
若f(a)=0, 但在x=a的邻域，f(x)变号，则f(a)不是极值点，f'(a)≠0, 此时|f'(a)|的左导数与右导数一个为f'(a), 另一个为-f'(a), 两者不等，所以x=a处不可导。
综上所述，|f(x)|在x=a不可导的充分条件是：f(a)=0, 但f'(a)≠0.

Answer 2

若f(a)>0,
则在x=a的邻域，有|f(x)|=f(x),
其导数为f'(a)
若f(a)<0,
则在x=a的邻域，有|f(x)|=-f(x),其导数为f'(-a)
若f(a)=0,
若在x=a的邻域，f(x)不变号，则f(a)为极值点，有f'(a)=0,
则此时|f'(a)|=0
若f(a)=0,
但在x=a的邻域，f(x)变号，则f(a)不是极值点，f'(a)≠0,
此时|f'(a)|的左导数与右导数一个为f'(a),
另一个为-f'(a),
两者不等，所以x=a处不可导。
综上所述，|f(x)|在x=a不可导的充分条件是：f(a)=0,
但f'(a)≠0.