Question

求an=1+1/2^2+1/3^2+…+1/n^2的极限。最好用夹逼定理

Answer 1

单单用夹逼准则似乎是做不出来的。
用傅里叶级数可以得到极限是(π^2)/6

追问

答案一看就不对嘛， (π^2)/6约等于0.2几，极限肯定是大于1的

追答

你怎么算的……π比3大吧？π的平方肯定比9大吧？(π^2)/6≈1.6449341

追问

饿..不好意思，我看错了......可是我不懂傅立叶级数

Answer 2

考虑 sinx/x 的麦克劳林级数展开 = 1 - (x^2)/3 +....
另一方面 sinx/x 在 x = n*pi 处有根 这里n为所有不为零的整数
所以考虑根与系数的关系 sinx/x =(1-x/pi)(1+x/pi)(1-x/2pi)(1+x/2pi)...=(1-x^2/pi^2)(1-x^2/4pi^2)...
展开之后x^2 平方项的系数就是-(1/pi^2 + 1/4pi^2 + 1/9pi^2+...)
对应在麦克劳林级数中x^2的系数是-1/3 两式联立 化简下就得到了你要的答案

这是欧拉的解法 比较容易理解 你可以搜索 巴塞尔问题 得到跟多信息