Question

定义在实数集R上的函数y=f(x)是偶函数,当x≥0时f(x)=x²-4x+3

（1）求函数f（x）在R上的表达式

（2）讨论方程m=f（x）解的情况
（3）求函数y=f(x)在区间[1，a]上的最大值和最小值

Answer 1

1) x>=0, f(x)=x^2-4x+3
x<0时，f(x)=f(-x)=(-x)^2-4(-x)+3=x^2+4x+3

2) 由对称性，先研究x>=0时的情形
m=f(x)=(x-2)^2-1, x>=0时，最小值为f(2)=-1, 而f(0)=3,同样有f(4)=3
因此当m<-1时，没解
当m=-1时，有两个解x=2, -2
当-1<m<3时，有四个解：分别位于区间(0, 2), (2, 4), 及(-2,0), (-4,-2)
当m=3时，有3个解：x=0, 4, -4
当m>3时，有2个解：一个大于4, 另一个小于-4

3)由上讨论
当1<a<2时，fmin=f(a)=a^2-4a+3, fmax=f(1)=0
当2=<a<4时，fmin=f(2)=-1, fmax=f(1)=0
当a>=4时，fmin=f(2)=-1, fmax=f(a)=a^2-4a+3