Question

椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号6/3，

椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号6/3，短轴一个端点与两个焦点构成的三角形为根号50分之3.
1求椭圆方程
2已知动直线y=k(x+1)与椭圆交与A,,B两点求
1若线段A,B中点的横坐标为—0.5，求斜率k的值 2已知点M（—7/3,0)求证向量MA乘于向量MB为定值

Answer 1

一个焦点F（2√2,0） c=2√2
e=c/a=√6/3 a=2√3 b^2=a^2-c^2=4
1. 椭圆C方程 x^2/12+y^2/4=1

2. 设A(x1,y1) B(x2,y2) 线段AB中点N(x,y)
x^2/12+y^2/4=1 x^2+3y^2=12
y=kx-5/2 消y得
x^2+3(k^2x^2-5kx+25/4)-12=0
(1+3k^2)x^2-15kx+27/4=0
x1+x2=15k/(1+3k^2) y1+y2=k(x1+x2)-5=15k^2/(1+3k^2)-5

线段AB中点N(x,y)
x=15k/2(1+3k^2)
y=15k^2/2(1+3k^2)-5/2
kMN=[15k^2/2(1+3k^2)-5/2]/[15k/2(1+3k^2)-3]=(-5)/(15k-6-18k^2)

若点A,B都以点M（3,0）为圆心的圆上，则M在线段AB的垂直平分线上
即kAB*kMN=-1
kAB=k
所以
kMN=[15k^2/2(1+3k^2)-5/2]/[15k/2(1+3k^2)-3]=(-5)/(15k-6-18k^2=-1/k
9k^2-5k+3=0 但是方程无解，不存在k，是的点A,B都以点M（3,0）为圆心的圆上，
不知题目是否有误，仅供参考……

Answer 2

（1）解：因为x2a2+
y2b2=1(a＞b＞0)满足a2=b2+c2，ca=
63，…（2分）
根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为5
23，可得12×b×2c=
5
23．
从而可解得a2=5，b2=
53，
所以椭圆方程为x25+
y253=1…（4分）
（2）证明：①将y=k（x+1）代入x25+
y253=1中，消元得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-5=0…（6分）
△=36k4-4（3k2+1）（3k2-5）=48k2+20＞0，x1+x2=-
6k23k2+1…（7分）
因为AB中点的横坐标为-
12，所以-
6k23k2+1=-
12，解得k=±
33…（9分）
②由①知x1+x2=-
6k23k2+1，x1x2=
3k2-53k2+1
所以MA•
MB=(x1+
73，y1)(x2+
73，y2)=(x1+
73)(x2+
73)+y1y2…（11分）
=(x1+
73)(x2+
73)+k2(x1+1)(x2+1)=(1+k2)x1x2+(
73+k2)(x1+x2)+
499+k2…（12分）
=(1+k2)
3k2-53k2+1+(
73+k2)(-
6k23k2+1)+
499+k2=-3k4-16k2-53k2+1+
499+k2=49…（14分）

Answer 3

题目有误