Question

请问梯度和方向导数间的区别?

大家好!我有两个问题想请教:
1.梯度和方向导数间的区别?
书上说方向导数是函数沿某方向的变化率,那么如我骑自行车向正北方向以5m/s匀速前进,可否理解为我沿正北方向的方向导数就是0?如果我以0.1m/s^2的匀加速向正北前进,方向导数就为0.1?不知正确否??那么,梯度又是个什么含义呢?
2.矢量场有梯度吗,为什么?

谢谢!

Answer 1

定义我就不说了，你自己查一下书。
方向导数是函数沿各个方向的导数，梯度是一个向量，因此梯度本身是有方向的。
它们的关系主要有两个：
1、函数在梯度这个方向的方向导数是最大的，换句话说，一个函数在各个方向都有方向导数，其中梯度这个方向的导数为最大；
2、函数方向导数的最大值为梯度的模。
【数学之美】团队为你解答，如有疑问请追问，如果解决问题请采纳。

Answer 2

1
梯度是所有方向的方向导数中绝对值最大的那个方向导数，且指向函数值增大的方向。

方向导数与梯度是场论中的概念，你可以搜以下北京大学出版社出版的《流体力学》，第一章就是介绍场论的。这两个概念与“骑自行车向正北方向”等没有联系

2
矢量场的大小组成的场有梯度，矢量场的梯度没有意义。梯度是针对标量场的。

Answer 3

方向导数是梯度在L上的投影，当L.与梯度方向一致时，方向导数最大。