Question

一道初三的数学题，亲们快来。

如图，已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把弧OA三等分，连接PC并延长PC交y轴于点D（0，3），连接AB.
（1）求证：△POD≌△ABO；
（2）连接BD，判断BD与⊙P的位置关系，并说明理由。
（3）求直线BD的解析式。

Answer 1

（1）证明：∵点B、C把弧OA三等分
∴∠DPO=60°，∠BAO=60°.
又∠B=∠DOP=90°，
∴∠PDO=∠AOB=30°，
∴PD=2PO=AO,
∴△POD≌△ABO
(2) BD是⊙P的切线。
证明：∵由（1）△POD≌△ABO得：DO=BO,
∴△BOD是等腰△，
又∠DOB=∠BAO=60°
∴△BOD是等边△，
∴∠DBO=60°
又∠PBO= ∠POB=30°
∴∠DBP=∠DBO+∠PBO=60°+30°=90°
∴ BD是⊙P的切线。
(3) DO=BO=3，AO=2AB.可求得：AB=√3，AO=2√3.从而
可求得B到AO的距离是：1.5，
∴B的坐标是(-3√3/2,1.5),于是可求得直线BD的解析式为：
y=√3/3*x+3 .

追问

第三小题B点的横坐标是怎样求出来的，求详细过程。（如果用勾股定理的话，求的是AO的长，之后要怎么做；纵坐标可以直接写出吗，还是要先证明△OBD是等边三角形，所以三线合一，所以B的纵坐标是OD的一半呢？）

追答

过B作BE⊥AO,垂足为E,在△BOE中，EO^2=BO^2-BE^2=3^2-1.5^2=27/4，
∴EO=3√3/2，所以，B的坐标是(-3√3/2,1.5),

Answer 2

（1）证明：由已知可得：
∵点B、C把弧OA三等分
∴∠DPO=60°，∠BAO=60°.
又∠B=∠DOP=90°，
∴∠PDO=∠AOB=30°，
∴PD=2PO=AO,
∴△POD≌△ABO
(2) BD是⊙P的切线。
证明：∵（1）△POD≌△ABO得：DO=BO,
∴△BOD是等腰△，
又∠DOB=∠BAO=60°
∴△BOD是等边△，
∴∠DBO=60°
又∠PBO= ∠POB=30°
∴∠DBP=∠DBO+∠PBO=60°+30°=90°
∴ BD是⊙P的切线。
(3) 由DO=BO=3，AO=2AB.可求得：AB=√3，AO=2√3.从而
可求得B到AO的距离是：1.5，
∴B的坐标是(-3√3/2,1.5),可得BD的解析式为：
y=√3/3*x+3 .