Question

如图，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF。证明：四边形AECF是矩形。

Answer 1

因为ABCD是菱形，所以AD//BC，且AD=BC，
又E、F分别是BC、AD的中点，所以AF//EC，且AF=EC，
从而AECF为平行四边形，
由ABCD是菱形，AB=AC知ABC为正三角形，
而E是BC的中点，所以AE⊥BC，
故四边形AECF是矩形。

Answer 2

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
又∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），
∴∠1=90°，
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴AF=12AD，EC=12BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD=BC，
∴AF∥EC且AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又∵∠1=90°，
∴四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；

Answer 3

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
又∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），
∴∠1=90°，
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴AF=1/2AD，EC= 1/2BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD=BC，
∴AF∥EC且AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又∵∠1=90°，
∴四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；