Question

如图所示，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F。求证四边形AFCE是菱形

Answer 1

设AC、EF交于O点，
∵EF垂直平分AC
∴AE=CE，AF=CF，AO=CO
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD‖BC
∴∠1=∠2
在△AOE和△COF中：
AE=CF
∠1=∠2
AO=CO
∴△AOE≌△COF（SAS）
∴AE=CF
∴AE=CE=AF=CF
∴四边形AFCE是菱形

Answer 2

因为是垂直平分线，所以AF=FC，AE=EC。由三角形AOE全等于FOC可得AE=FC。所以这四个边就都相等了，即证是菱形

Answer 3

设AC中点为O
∵EF垂直平分AC
∴∠AOE=∠COF=90°且AO=OC
∵ABCD为平行四边形
∴AD‖CB
∴∠EAO=∠FCO
∴△AOE≌△COF
∴EO=OF
∴AC垂直平分EF
又EF垂直平分AC
∴四边形AFCE的对角线互相垂直平分
∴四边形AFCE是菱形