Question

已知函数y=√1-x +√x+3的最大值为M，最小值为m，则m/M的值为——。

在线等,要过程。多谢！

Answer 1

函数的定义域为-3≤x≤1
y=根号（1-x）+根号（x+3） 两边平方
y^2=1-x+x+3+2根号[(1-x）*（x+3）]=4+根号（3-2x-x^2)=4+2*根号[-(x+1)^2+4]
当x=-1时
函数最大值为
y^2=4+2根号4=8 y=2根号2
当x=1或者-3时，函数最小值为
y^2=4 y=2
则m/M的值=2/2根号2=√2/2

另解：设x+1=2cos2α≥0，2α∈[-π/2，π/2]
则x=-1+2cos2α
y=√1-x +√x+3=√（1+1- 2cos2α）+√（-1+2cos2α+3）
=√2（1- cos2α）+√2（1+cos2α）
=√2（1- cos2α）+√2（1+cos2α）=
=√（4 sin²α）+√（4cos²α）=√2（|sinα|+|cosα|）
y=2（|sinα|+|cosα|） α∈[-π/4，π/4]
y最大值M=2√2，y最小值m=2
m/M的值=2/2根号2=√2/2
仅作参考，不妥之处请指点。

Answer 2

定义域为-3=<x<=1
可设x=-3+4(sint)^2, 0=<t<=π/2
则y=√[4-4(sint)^2]+√[4(sint)^2]
=2cost+2sint
=2√2 sin(t+π/4)
当t=π/4时,M=2√2
当t=0或 π/2时, m=2
所以有m/M=√2/2