Question

为什么f(x)在点x=o的某一邻域内具有连续的二阶导数 lim(x-0)f(x)/x=0，则：

为什么f(x)在点x=o的某一邻域内具有连续的二阶导数
lim(x-0)f(x)/x=0，则：
f(0)=f'(0)=0

Answer 1

f（x）=x*f（x）/x
所以lim（x→0）f（x）=lim（x→0）[x*f（x）/x]
=lim（x→0）x*lim（x→0）f（x）/x
=0*0=0
而f（x）在x=0点二阶可导，说明f（x）和f'（x）在x=0点都连续
所以f（0）=lim（x→0）f（x）=0
那么f'（0）=lim（x→0）[f（x）-f（0）]/x
=lim（x→0）f（x）/x=0
所以f（0）=f'（0）=0

Answer 2

f(x)=x^2D(x)，D(x)就是Dirichlet函数，有理点为1，无理点为0。则f'(0)=lim(f(x)-f(0))/(x-0)=0，f在0可导，但f(x)在0连续，在不等于0的任意地方都不连续。