Question

线性代数 求一个正交的相似变换矩阵 将下列对称矩阵化为对角矩阵

Answer 1

|λI-A|
= 

λ-2    -2    2    

-2    λ-5    4    

2    4    λ-5    

 

= (λ-1)2(λ-10) 

= 0 
解得λ = 1（两重），10
   
将特征值1代入特征方程(λI-A)x=0

-1    -2    2    

-2    -4    4    

2    4    -4    

第3行, 减去第1行×-2

-1    -2    2    

-2    -4    4    

0    0    0    

第2行, 减去第1行×2

-1    -2    2    

0    0    0    

0    0    0    

第1行, 提取公因子-1

1    2    -2    

0    0    0    

0    0    0    

增行增列，求基础解系

1    2    -2    0    0    

0    1    0    1    0    

0    0    1    0    1    

第1行, 加上第3行×2

1    2    0    0    2    

0    1    0    1    0    

0    0    1    0    1    

第1行, 加上第2行×-2

1    0    0    -2    2    

0    1    0    1    0    

0    0    1    0    1    

得到属于特征值1的特征向量
(-2,1,0)T
(2,0,1)T    
将特征值10代入特征方程(λI-A)x=0

8    -2    2    

-2    5    4    

2    4    5    

第3行, 减去第1行×14

8    -2    2    

-2    5    4    

0    92    92    

第2行, 减去第1行×(-14)

8    -2    2    

0    92    92    

0    92    92    

第3行, 减去第2行×1

8    -2    2    

0    92    92    

0    0    0    

第2行, 提取公因子92

8    -2    2    

0    1    1    

0    0    0    

第1行, 提取公因子8

1    -14    14    

0    1    1    

0    0    0    

第1行, 加上第2行×14

1    0    12    

0    1    1    

0    0    0    

增行增列，求基础解系

1    0    12    0    

0    1    1    0    

0    0    1    1    

第1行,第2行, 加上第3行×(-12),-1

1    0    0    -12    

0    1    0    -1    

0    0    1    1    

第4列, 乘以2

1    0    0    -1    

0    1    0    -2    

0    0    1    2    

得到属于特征值10的特征向量
(-1,-2,2)T    得到特征向量矩阵P = 

-2    2    -1    

1    0    -2    

0    1    2    

并且有P-1AP = Λ = diag(1,1,10)
矩阵P施密特正交化

-2    2    -1    

1    0    -2    

0    1    2    

第2列，减去第1列的(C2,C1)(C1,C1)=-45倍然后第2列乘以5

-2    2    -1    

1    4    -2    

0    5    2    

单位化，得到正交矩阵Q = 

-2√55    2√55    -13    

√55    0    -23    

0    √55    23    

并且有Q-1AQ = Λ = diag(1,1,10)
所求正交变换是X=QY，Y=QTX，且有
XTAX=(QY)TAQY=YTQTAQY=YTdiag(1,1,10)Y
y1=-2√55x1+√55x2
y2=2√55x1+√55x3
y3=-13x1-23x2+23x3    

追问

能告诉我 烂不大 怎么求嘛～

啊不用了 谢谢啦