线性代数 求一个正交的相似变换矩阵 将下列对称矩阵化为对角矩阵
|λI-A|
=
λ-2 -2 2
-2 λ-5 4
2 4 λ-5
= (λ-1)2(λ-10)
= 0
解得λ = 1（两重），10
将特征值1代入特征方程(λI-A)x=0
-1 -2 2
-2 -4 4
2 4 -4
第3行, 减去第1行×-2
-1 -2 2
-2 -4 4
0 0 0
第2行, 减去第1行×2
-1 -2 2
0 0 0
0 0 0
第1行, 提取公因子-1
1 2 -2
0 0 0
0 0 0
增行增列，求基础解系
1 2 -2 0 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
第1行, 加上第3行×2
1 2 0 0 2
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
第1行, 加上第2行×-2
1 0 0 -2 2
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
得到属于特征值1的特征向量
(-2,1,0)T
(2,0,1)T
将特征值10代入特征方程(λI-A)x=0
8 -2 2
-2 5 4
2 4 5
第3行, 减去第1行×14
8 -2 2
-2 5 4
0 92 92
第2行, 减去第1行×(-14)
8 -2 2
0 92 92
0 92 92
第3行, 减去第2行×1
8 -2 2
0 92 92
0 0 0
第2行, 提取公因子92
8 -2 2
0 1 1
0 0 0
第1行, 提取公因子8
1 -14 14
0 1 1
0 0 0
第1行, 加上第2行×14
1 0 12
0 1 1
0 0 0
增行增列，求基础解系
1 0 12 0
0 1 1 0
0 0 1 1
第1行,第2行, 加上第3行×(-12),-1
1 0 0 -12
0 1 0 -1
0 0 1 1
第4列, 乘以2
1 0 0 -1
0 1 0 -2
0 0 1 2
得到属于特征值10的特征向量
(-1,-2,2)T 得到特征向量矩阵P =
-2 2 -1
1 0 -2
0 1 2
并且有P-1AP = Λ = diag(1,1,10)
矩阵P施密特正交化
-2 2 -1
1 0 -2
0 1 2
第2列，减去第1列的(C2,C1)(C1,C1)=-45倍然后第2列乘以5
-2 2 -1
1 4 -2
0 5 2
单位化，得到正交矩阵Q =
-2√55 2√55 -13
√55 0 -23
0 √55 23
并且有Q-1AQ = Λ = diag(1,1,10)
所求正交变换是X=QY，Y=QTX，且有
XTAX=(QY)TAQY=YTQTAQY=YTdiag(1,1,10)Y
y1=-2√55x1+√55x2
y2=2√55x1+√55x3
y3=-13x1-23x2+23x3
能告诉我 烂不大 怎么求嘛～
啊不用了 谢谢啦
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