Question

已知命题P:任意x属于[1,2],1+2^x+a*4^x<=0,命题q：存在x属于R，x^2+2ax-8-6a=0, 若命题“P且q”是真命题，

求实数a的范围。

Answer 1

解：若命题“P且q”是真命题，则p为真且q为真
p为真：设t=2^x. 因为x∈[1,2],所以t∈[2,4] 即为 1+t+a*t^2<=0在t∈[2,4]恒成立
可以集合图形考虑，当①a>0,开口向上，对称轴t=-1/(2a)<0，又因为二次函数图象过(0,1),所以在[2,4]上恒大于零，不满足 ②当a=0,1+t<=0不成立 ③当a<0， 开口向下，对称轴t>0, 只需在t=2和t=4均小于零即可。解得a<=-3/4，a<=-5/16, 所以综合起来a<=-3/4
q为真：即为x^2+2ax-8-6a=0 在R上有解 △=(2a)^2+4(8+6a)>=0 解得a<=-4或a>=-2
∴综上所述，a<= -4或 - 2<= a <= -3/4