Question

高数 积分 可积推连续 证明里的一些小问题

高数 积分 可积推连续 证明里的一些小问题如图 有三个点不太明白
问题一 第一条画横线的地方 为什么是这样点不等式 就说为什么小于积分ftdt
问题2 第二条横线部分 这个“则”然后极限 等于0 ??? 我知道的他x趋向于0 这个积分会等于0 但是题目里看上去是由上面推到这步的 为什么这么推 怎么的推的?
问题3 第三条横线处 极限 Fx+△x = Fx 这个是为什么啊 在前面一行里面 Fx不是包括在哪极限lim里面吗 为什么能提出来呢

基础比较差有些显而易见的地方我也不是看的很出来 所以求解释 谢谢

Answer 1

可积函数定义：如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，我们就说f(x)在[a,b]上可积。即f(x)是[a,b]上的可积函数。
函数可积的充分条件：
定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
定理3设f(x)在区间[a,b]上单调有界,则f(x)在[a,b]上可积。
所以如果是有第二类间断点，如无穷间断点，震荡间断点，是有可能（但也只是有可能，不是一定）不可积。而如果是有限个第一类（无论是跳跃间断点，还是可去间断点），都必然是可积的。楼上的那位，刚好说反了。