Question

求解一道高中数学函数题

已知函数f（x）=lnx,gx=(m+1)x^2-x. 1. 求fx在x=1处的切线方程 2.若fx与gx图象有公共点且在公共点P有相同的 切线，求m的值和P的坐标

Answer 1

f'(x)=1/x

k=f'(1)=1
f(1)=ln1=0
故在X=1处的切线方程是y-0=1*(x-1),即有y=x-1
2.
设P坐标是(a,b)
g'(x)=2(m+1)x-1
有相同的切线,则有g'(a)=f'(a),即有2(m+1)a-1=1/a,即有(m+1)a^2=(1+a)/2
同时有f(a)=g(a),即有lna=(m+1)a^2-a
即有lna=(1+a)/2-a=(1-a)/2
得到a=1
(m+1)*1^2=(1+1)/2,即有m=0
b=ln1=0
即有m=0,P坐标是(1,0)

Answer 2

1：f'(x)=1/x 当x=1 ,k=1，因为f(1)=0
所以 点（1,0）的切线方程是y=x-1
2：g'(x)=2(m+1)x-1
所以 lnx=(m+1)x^2-x
1/x=2(m+1)x-1
（x>0)
解方程组，可得 x、m 值，代入函数可得函数值（y坐标）。这样m和坐标就都有了。

追问

我是这样做的 但算不出~

追答

lnx=(m+1)x^2-x
1/x=2(m+1)x-1

这个方程组的知识范围虽然超出高中，但能巧妙解出。
lnx=(m+1)x^2-x，所以
(m+1)x^2=lnx+x 代入 第二式
则 x+lnx=1
x=1
所以m=0
y=f(1)=g(1)=0
因此切点（1,0），m=0

Answer 3

1.求切线方程，只要知道切点和切线斜率，切点直接由x=1代入，切线斜率由f（x）求导代入。
2.有公共点即存在f（x）=g（x）；有相同的 切线即f（x）的导数=g（x）的导数，公共点既在f（x）上也在g（x），联立方程可以解出。