Question

已知函数f(x)=x的三次方+ax平方+bx+a平方若对任意a属于(-4,+∞),f(x)在(0,2)上单调递增，求b的最小值

Answer 1

f'(x)=3x^2+2ax+b
对任意a属于(-4,+∞),f(x)在(0,2)上单调递增,即f'(x)>=0的区间必包含(0, 2)
有2种情况
1)delta<=0, 即4a^2-12b<=0, 得：b>=a^2/3, b的最小值为0
2)f'(x)=0有两个根x1<x2, 则x2<=0, 或x1>=2
此时delta>0, b<=a^2/3
而x2=[-a+√(a^2-3b)]/3<=0, 得：√(a^2-3b)<=a, 若a<0, 则没解；若a>=0, 则平方得：a^2-3b<=a^2, 得：b>=0, 最小值为0
x1=[-a-√(a^2-3b)]/3>=2,得：√(a^2-3b)<=-(6+a)；因右边为负，故无解
综合1），2）得b的最小值为0.

Answer 2

f(0)=a^2
f(2)=8+4a+2b+a^2
f(2)>f(0)
8+4a+2b+a^2 > a^2

4+2a+b > 0
b> -(2a+4)
a>-4
2a > -8
2a+4 > -4
-(2a+4)< 4
若b> -(2a+4)恒成立，则b>=4
所以b的最小值为4