Question

线性代数的一道填空题，麻烦谁进来看看

设齐次线性方程组tx1+x2+(t^2)x3=0;x1+tx2+x3=0;x1+x2+tx3=0系数矩阵为A,若存在三阶矩阵B不等于0，使得AB=0,则t等于多少，B的行列式等于多少？答案是t=1,B的行列式为零。有谁能给我解释一下？

Answer 1

AB=0 <=> B的列向量都是齐次线性方程组 Ax=0 的解.
故由已知 Ax=0 有非零解
所以 |A| = 0.
而 |A|=(t-1)^2
所以 t=1.

当t=1时, r(A)=1
Ax=0 的基础解系含 3-r(A)=2 个解向量
所以B的3个列向量必线性相关
所以 |B|=0.

追问

为什么AX=0有非零解是已知的？

追答

B≠0, B的列向量是Ax=0的解