Question

设3阶矩阵A的秩为2，α1、α2为非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，求Ax=b

设3阶矩阵A的秩为2，α1、α2为非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，求Ax=b的通解？怎么做的具体步骤

Answer 1

就是求出齐次方程组的基础解系和一个特解即可。
注意到定理：若a1，a2是ax=b的两个不同的解，即aa1=b，aa2=b，
则a(a1-a2)=aa1-aa2=b-b=0，因此
a1-a2是齐次方程组的解，而a的秩是3，故基础解系的个数为
4-3=1，于是有a1-a2恰好是ax=0的基础解系。
另外，a1是一个特解，因此通解为
k(a1-a2)+a1，取c=2k即可。因此选a。

Answer 2

由线性方程组解得性质知，
2α2?α1＝(?2，?1，2)T，α1+2α2?2α3＝(2，?1，4)T都是AX=b的解，
它们的差（4，0，2）T是AX=0的解，
又3-r（A）=1，故AX=0的基础解系只有一个解向量，且
由（4，0，2）T是AX=0的解，知AX=0的基础解系为ξ=（2，0，1）T，