Question

初二几何证明题求助

如图，已知OA=OB，∠AOB=90，点C在OB延长线上，作BD⊥AC，

求证∠ODA=∠ODB.

Answer 1

其实用四点共圆很简单的，证全等麻烦点。

如图，延长BD，作OE⊥AC于E，OF⊥DF于F。

∵OE⊥AC，DF⊥AC

∴OE∥DF

∴∠BOF=∠C

∵∠AOE+∠OAE=90°，∠C+∠OAE=90°

∴∠C=∠AOE

∴∠BOF=∠C=∠AOE

又∵OA=OB，∠OFB=∠AEO=90°

∴△OFB≌△OEA（HL）

∴OF=OE

又∵OD=OD，∠OED=∠OFD

∴△OED≌△OFD

∴∠ODA=∠ODB

 

OD忘了连接了，凑合着看好了。

Answer 2

证明：∵ ∠AOB=90°，∠ADB=90°
∴A,O,B,D四点共圆
∴∠AOB=90°
∴∠ODA= ∠OBA=45°
∠ODB =∠OAB =45°
∴∠ODA=∠ODB

追问

初二的，不能用圆的知识
只能用三角形全等

追答

证法二：延长DB交AB于点G,作OE⊥AC于点E，OF⊥DB于点F,

            则∠GOF=∠OAC

           又∵∠FBO+∠FOB=90°

                  ∠FOG+∠FOB=90° 

                 ∴∠FBO=∠FOG=∠OAC

             又因为AO=BO,∠AEO=∠OFB=90°

             ∴△AOE≌△BOF(AAS)

              ∴OE=OF

              又∵OD=OD

             ∴△DOE≌△DFO       (HL)   

             ∴∠ODA=∠ODB