Question

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为ts，正方形和梯形重合部分的面积为Scm2．
（1）当t=1s时，点P与点Q重合；
（2）当t=45s时，点D在QF上；
（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式．

Answer 1

解：（1）当点P与点Q重合时，AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，
∴t+t=2，解得t=1s，
故填空答案：1．

（2）当点D在QF上时，如答图1所示，此时AP=BQ=t．
∵QF∥BC，APDE为正方形，∴△PQD∽△ABC，
∴DP：PQ=AC：AB=2，则PQ=
1
2
DP=
1
2
AP=
1
2
t．
由AP+PQ+BQ=AB=2，得t+
1
2
t+t=2，解得：t=
4
5
．
故填空答案：
4
5
．

（3）当P、Q重合时，由（1）知，此时t=1；
当D点在BC上时，如答图2所示，此时AP=BQ=t，BP=
1
2
t，求得t=
4
3
s，进一步分析可知此时点E与点F重合；
当点P到达B点时，此时t=2．
因此当P点在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，其运动过程可分析如下：
①当1＜t≤
4
3
时，如答图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ．
此时AP=BQ=t，∴AQ=2-t，PQ=AP-AQ=2t-2；
易知△ABC∽△AQF，可得AF=2AQ，EF=2EG．
∴EF=AF-AE=2（2-t）-t=4-3t，EG=
1
2
EF=2-
3
2
t，
∴DG=DE-EG=t-（2-
3
2
t）=
5
2
t-2．
S=S梯形PDGQ=
1
2
（PQ+DG）•PD=
1
2
[（2t-2）+（
5
2
t-2）]•t=
9
4
t2-2t；
②当
4
3
＜t＜2时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形．
此时AP=BQ=t，∴AQ=PB=2-t，
易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△DNM，可得AF=2AQ，PM=2PB，DM=2DN，
∴AF=4-2t，PM=4-2t．
又DM=DP-PM=t-（4-2t）=3t-4，∴DN=
1
2
（3t-4），DM=3t-4．
S=S正方形APDE-S△AQF-S△DMN=AP2-
1
2
AQ•AF-
1
2
DN•DM
=t2-
1
2
（2-t）（4-2t）-
1
2
×
1
2
（3t-4）×（3t-4）
=-
9
4
t2+10t-8．
综上所述，当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，S与t之间的函数关系式为：
S=

9
4
t2-2t(1＜t≤
4
3
)

-
9
4
t2+10t-8(
4
3
＜t＜2)

．

Answer 2

(1)P和Q运动的速度相同，所以AP=BQ。当t=1时，AP=BQ=1，所以P和Q重合
（2）当点D在QF上，设AP=BQ=t，则PQ=2-2t，DP=t,由ABC相似PQD得：t=2(2-2t)解得t=4/5
（3）BP=t,AP=2-t,正方形APDE=（2-t)^2; AQ=t,AF=2t，所以三角形AQF=t^2，阴影部分的面积就是正方形的面积减去三角形的面积，所以S=（2-t)^2-t^2；

采纳把。