大一一道高数题第九题
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9. 记 S(x) = ∑<n=0,∞> x^n/(n+2)，
x = 0 时 S(0) = 0。
x ≠ 0 时，记 T(x) = S(x)x^2 = ∑<n=0,∞> x^(n+2)/(n+2)
T'(x) = ∑<n=0,∞> x^(n+1) = x/(1-x) = -1 + 1/(1-x), (-1<x<1)
T(x) = ∫<0, x> [-t+1/(1-t)]dt + T(0) = - x - ln(1-x),
S(x) = -1/x - ln(1-x)/x^2, (-1<x<1)。
x = 0 时 S(0) = 0。
x ≠ 0 时，记 T(x) = S(x)x^2 = ∑<n=0,∞> x^(n+2)/(n+2)
T'(x) = ∑<n=0,∞> x^(n+1) = x/(1-x) = -1 + 1/(1-x), (-1<x<1)
T(x) = ∫<0, x> [-t+1/(1-t)]dt + T(0) = - x - ln(1-x),
S(x) = -1/x - ln(1-x)/x^2, (-1<x<1)。
更多追问追答
追问
为什么还要讨论X等于0的情况啊
追答
x = 0 在收敛域内。但求 S(x) 时, 用 T(x) 两边同除以 x^2。
故要讨论 x = 0 的情况，否则 S(x) = -1/x - ln(1-x)/x^2 不能包含 x = 0 的情况。
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