Question

已知函数f(x)=丨x+1丨+ax（a∈R），若函数f(x)在R上具有单调性，求a的取值范围

Answer 1

x>=-1时，有f(x)=x+1+ax=(a+1)x+1,
a>-1时，单调增；a=-1时，为常值1；a<-1时，单调减
a<-1时，有f(x)=-1-x+ax=(a-1)x-1
a>1时，单调增; a=1时，为常值-1；a<1时，单调减
由上，若f(x)在R上单调增，则需a>=1;
若f(x)在R上单调减，则需a<=-1;
综合得a的取值为a>=1, 或a<=-1

Answer 2

f(x)=x+1+ax=(a+1)x+1
(x≥-1)
f(x)=-x-1+ax=(a-1)x-1
(x＜-1)
由函数在两个区间内有相同的单调性得(a+1)(a-1)≥0
——>
a≥1或a≤-1
若a≥1,函数为增函数，≤-1时，函数为减函数。