Question

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,AE平分∠CAB,交CD于点F,过点E作EG⊥AB，垂足为G

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,AE平分∠CAB,交CD于点F,过点E作EG⊥AB，垂足为G 。
（1）求证：CE=CF=EG

（2）连结CG，判断CG与EF有何特殊关系，并加以说明。

Answer 1

解：（1）∵AE为角CAB的角平分线，且EC⊥AC EG⊥AB
所以EC=EG（角平分线定理）
又DC⊥AB EG⊥AB
∴EG∥CD 所以∠GEF=∠CFE
∵∠CEA=90°-∠ACE=90°-∠EAG=∠AEG
∴∠CEF=∠CFE
∴CE=CF 即 CE=CF=EG
（2）CG⊥EF
由（1）可知EG=CF 且EG∥CF
∴四边形CFGE为平行四边形。
又∵CE=EF 所以四边形EFGE为菱形
根据菱形的对角线相互垂直可得知
CG⊥EF

Answer 2

　　（1）证明：∵AE平分∠CAB，∠ACB=90°，EG⊥AB
　　∴EG=CE
　　∴△ACE≌△AGE
　　∴∠AEC=∠AEG
　　∵CD⊥AB，EG⊥AB
　　∴CD∥EG
　　∴∠GEF=∠CFE
　　∴∠CEF=∠CFE
　　∴CF=CE
　　（2）CG⊥EF
　　由AF=AF, AG=AC, ∠CAF=∠GAF,
　　∴△CAF≌△GAF
　　∴CF=FG.
　　又CE=CF=EG
　　∴CE=CF=EG=FG
　　∴四边形CEGF是菱形
　　∴对角线CG⊥EF