Question

已知椭圆C的方程为x2/4+y2/3=1，A,B为椭圆的左右两个顶点，F为右焦点。

若点M在椭圆上运动（不同于A,B两点）直线MF与椭圆相交于另一点N，直线AM，BN相交于点P，求证点P在定直线上运动。

Answer 1

椭圆C方程x^2/4+y^2/3=1，左右端点为A(-2,0), B(2,0)
c=√(a^2-b^2)=√(4-3)=1，右焦点为F(1,0)
设过右焦点的直线为y=k(x-1)
代入椭圆方程得 x^2/4+k^2(x-1)^2/3=1
整理得 3x^2+4k^2(x-1)^2-12=0
(3+4k^2)x^2-8k^2x+4k^2-12=0 (1)
解此一元二次方程可得两个x的解，x1，x2；
同时有x1+x2=8k^2/(3+4k^2)，x1x2=(4k^2-12)/(3+4k^2)
代入y=k(x-1)可解得y的两个解，y1=k(x1-1)，y2=k(x2-1)。
不妨设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2)
则直线AM的方程为：y=y1/(x1+2)*(x+2)
直线BN的方程为：y=y2/(x2-2)*(x-2)
由二直线可解出交点P为：y1/(x1+2)*(x+2)=y2/(x2-2)*(x-2)
y1/y2=(x1+2)/(x2-2)*(x-2)/(x+2)=(x1-1)/(x2-1)
(x-2)/(x+2)=(x1-1)/(x2-1)*(x2-2)/(x1+2)
1-4/(x+2)=1-(x1+3x2-4)/(x1x2-x1+2x2-2)
(x+2)/4=(x1x2-x1+2x2-2)/(x1+3x2-4)
x=4(x1x2-x1+2x2-2)/(x1+3x2-4)-2
x=4[2x1x2-3x1+x2]/(2x1+6x2-8)
∵(2x1x2-3x1+x2)-(2x1+6x2-8)
=2x1x2-5(x1+x2)+8
=2*4(k^2-3)/(3+4k^2)-5*8k^2/(3+4k^2)+8
=-8[5k^2-k^2+3]/(3+4k^2)+8
=-8+8=0
∴(2x1x2-3x1+x2)=(2x1+6x2-8)
(2x1x2-3x1+x2)/(2x1+6x2-8)=1
∴x=4
代入解得y=6y1/(x1+2)=2y2/(x2-2)
即交点横坐标为x=4，纵坐标随点M,N的变化而变化，即为直线x=4
∴交点P在定直线x=4上运动