Question

有高清图！如图，∠B=∠C=90°，点M是BC的中点，DM平分∠ADC. (1)求证AM平分∠DAB

（2）猜想AM与DM的位置关系如何？并证明你的结论。请快点哦，谢谢！

Answer 1

1、证明：过点M作MN⊥AD于N
∵DM平分∠ADC，∠C=90，MN⊥AD
∴CM＝MN （角平分线性质）
∵M是BC的中点
∴CM＝BM
∴BM＝MN
∵∠B＝90, MN⊥AD
∴AM平分∠DAB （角平分线性质）
2、AM⊥DM
证明：
∵∠B=∠C=90
∴∠B+∠C＝180
∴AB∥CD
∴∠DAB+∠ADC＝180
∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC
∴∠DAM＝∠DAB/2, ∠ADM＝∠ADC/2
∴∠DAM+∠ADM＝（∠DAB+∠ADC）/2＝90
∴∠AMD＝180-（∠DAM+∠ADM）＝90
∴AM⊥DM

或
1、证明：过点M作MN⊥AD于N
∵DM平分∠ADC
∴∠ADM＝∠CDM
∵∠C=90，MN⊥AD
∴∠C＝∠MND＝90
∵MD＝MD
∴△CMD≌△NMD （AAS）
∴CM＝MN
∵M是BC的中点
∴CM＝BM
∴BM＝MN
∵∠D＝90, MN⊥AD
∵∠B＝∠ANM＝90
∵AM＝AM
∴△ABM≌△ANM （HL）
∴∠BAM＝∠DAM
∴AM平分∠DAB
2、AM⊥DM
证明：
∵∠B=∠C=90
∴∠B+∠C＝180
∴AB∥CD
∴∠DAB+∠ADC＝180
∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC
∴∠DAM＝∠DAB/2, ∠ADM＝∠ADC/2
∴∠DAM+∠ADM＝（∠DAB+∠ADC）/2＝90
∴∠AMD＝180-（∠DAM+∠ADM）＝90
∴AM⊥DM